Unidad 3 - Relaciones

Introducción

En la matematica, como en otras ciencias, constantemente se habla de diversas relaciones entre dos objetos: en geometría se trata de relaciones de congruencia y de semejanza; en álgebra, de relaciones entre objetos. Una manera de lograr esto es mediante una regla, formula o propiedad. Es decir, una relacion R consiste en todo los pares ordenados (x, y) A x B tales que "x" tiene credito "y".

Definición

Sean A y B dos conjuntos. Una relacion R de A en B es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B.

Dominio, Imagen, Relación Inversa

Si R ⊂ AxB es una relacion de A en B, existen dos importatntes conjuntos asociados a esta relacion; dominio e imagen de R. A continuación se darán las definiciones de esros conjuntos y de la relacino inversa.

Dominio de R

El Dominio de R, que se escribe D(R), es el conjunto de elementos de A que están relacionados con algún elemento en B. En otras palabras, el D(R) es un subconjunto de A y es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares (x, y) ∈ R. Es decir:

D(R)={x ∈ A / (x, y) ∈ R}

Imagen de R

El imagen (rango o recorrido) de R, que se escribe I(R) es el conjunto de elementos en B que son los segundos elementos de los pares (x, y) ∈ R, esto es, todos los elementos en B que están relacionados con algún elemento en A. Es decir:

I(R)={y ∈ B / (x, y) ∈ R}

Relacion Inversa

La relación inversa (recíproca) de la relación R de A en B es la relación R⁻ˡ de B en A se define como:

R⁻ˡ = {(y, x) / (x, y) ∈ R}

 Composicion de Relaciones

Sea R una relación de a en B y S una relación de b en c: Es decir

R⊂ a x b    y    S ⊂ b x c

a partir de esta relación se puede definir una relacion de a en c, llamada composición entre R y S:

 Propiedades de las Relaciones

Sea R una relación definida en A, es decir R⊂A². Estas relaciones generalmente satisfacen ciertas propiedades:

Relaciones Reflexivas

Una relación R en un conjunto A se denomina reflexiva si cada elemento x de A está relacionado consigo mismo.

Relaciones Simétricas

Una Relación en un conjunto A es simétrica si cualquiera que sea el par (x, y) que pertenece a la relacion, entonces par de (y, x) tambien pertenece.

Relaciones Transitivas

Una relacion R, definida en un conjunto A, es transitiva si, cualesquiera que sean los pares ordenados (x, y) y (z, z) que pertenecen a la relación, entonces el par ordenado (x, z) también pertenece a ella.

Relaciones de equivalencia

Una relacion binaria R, definida en un conjunto A, es de equivalencia si es reflexiva, simetrica y transitiva.