Unidad 2 - Conjuntos

En el Lenguaje corriente, empleamos el vocablo conjunto para referirnos auna pluralidad o colectividad de objetos que se consideran agrupados formando un todo. Por ejemplo, conjunto de alumnos de una clase, conjunto de letras del abecedario; conjunto de escritos nacionales, etc
De esta noción de pluralidad contrapuesta a la singularidad ha surgido el concepto matemático conjunto. Los ejemplos recién mencionados bastan por ahora tener una idea de dicho concepto. Lo esencial de dichas situaciones es la presencia de minusculas a, b, c,... y los conjuntos se denotan por lo comñun mediante letras mayúsculas como A, B,C...

Otros Símbolos de uso frecuente son:

"/" para expresar "tal que"

"∈" Para expresar que un elemento pertenece a un conjunto

"<" para expresar "menor que"

">" para expresar "mayor que"

Para simbolizar "x pertence a A" se escribirá x ∈ A y la negración de ésta se escribirá x ∉ Aç

Notación de conjuntos Numéricos 

Las Notaciones usales para caraterizar conjuntos numéricos son las siguientes:

  

Determinación de un Conjunto

Se dice que un conjunto está determinado por extensión sí y solo sí se nombran todos los elementos que lo constituyen. en este caso se escriben sus elementos entre dos llaves.

Se dice que un conjunto está determinado por comprensión si y solo sñi se da la propiedad o propiedades que caracterizan a todos los elementos del conjunto.

Conjuntos Especiales

Se denominan conjuntos especiales a aquellos, que se caracterizan por el numero de elementos, entre ellos tenemos:

Conjunto Vacío

Es aquel conjunto que carece de elementos

Conjunto Unitario

Es aquel que tiene solo un elemento en su interior

Conjunto Universal

Es un conjunto cuyos elementos se escogen de algunos para formar otros conjuntos.

Relaciones entre conjuntos

Se sabe que el símbolo ∈ (pertenencia) se utiliza para relacionar un elemento con un conjunto. Asimismo, se puede relacionar dos conjuntos definidos en un mismo universo.

Inclusión de conjuntos

Sean A y B dos conjuntos definidos en un mismo universo. Se dice que A está incluido en B, o que A es subconjunto de B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen al cojunto B; se denota por A ⊂ B, que se lee "A esta incluido en B".

 Igualdad de conjuntos

Se dice que dos conjuntos, A y B, son iguales si A ⊂ B y B ⊂ A. Es decir, si ambos conjuntos están formados por los mismo elementos.

Conjunto de Partes

Dado un Conjunto A, se entiende por conjunto de partes de A al conjunto formado por todos los subconjuntos de A, y se denota por P(A)

 Operaciones entre conjuntos

la combinación de dos o mas conjuntos, se llamana operaciones y estas son:

Unión de Conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de a A y B, al conjunto formado por todos los elementos de A o de B. Se denota por: A ∪ B

 Interseccion de conjuntos

Dados los conjuntos A y B, la interseccion de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que son comunes a los dos conjuntos dados, es decir pertenecen a A y a B. Se deonota por: A ∩ B

Complemento de un conjunto

Sea A un conjunto definido en un universo U, el complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A. Se denota por: Aᶜ

Diferencia de un conjunto

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. La diferencia de conjuntos A - B está formado por todos los elementos de A, que no pertenecen a B.

Diferencia Simétrica

Dados dos conjuntos A y B, cualesquiera de un universo U, la diferencia simétrica entre estos conjuntos es un conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B, pero no a ambos.

Leyes de operaciones con conjuntos

Pare referencia posterior, damos aqui una lista de las leyes más importantes que rigen las operaciones con conjuntos.

Propiedades de Cardinalidad

1. ${\displaystyle n(\phi )=0}$
2. ${\displaystyle A=B\Rightarrow n(A)=n(B)}$
3. ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow n(A)\leq n(B)}$
4. ${\displaystyle n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)}$
5. ${\displaystyle n(U)=n(A)+n(A^{c})}$
6. ${\displaystyle n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)}$

Y en el caso de tres conjuntos, A, B y C:

1. ${\displaystyle n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)}$
2. ${\displaystyle n(A-(B\cup C))=n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)}$
3. ${\displaystyle n((A\cap B)-C)=n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)}$
4. ${\displaystyle n((A\cup B)-C)=n(A\cup B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)}$

 Producto Cartesiano

Sean dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B al conjunto C formado por todas las parejas posibles en forma de par ordenado (x, y), tales que el primer elemento, x, pertenezca al conjunto A y el segundo, y, pertenezca al conjunto B.

Este producto cartesiano se representa por C = A×B.

En el diagrama adjunto podemos ver un ejemplo de producto cartesiano de  A×B, siendo A={a, b, c, d}, y siendo B={a, b, d, e, f}. Los elementos de A×B, representados en rojo, son todos los pares (x, y), como por ejemplo (a, a), (a, b), (b, a), .... El número de elementos en este caso es: 4×5, es decir, 20.