Unidad 1 - Lógica

Definición

La lógica es la disciplina que trata de los métodos, modos y formas del razonamiento humano. Ofrece reglas técnicas para determinar si un argumento es válido o no.

Una de las metas fundamentales de la lógica es eliminar las ambigüendades del lenguaje ordinario, introduciendo símbolos y conectivos lógicos en la construccion de  Proposiciones.

Lógica en Sí

Así como el objeto de estudia tradicional de la quimica es la materia y el de la biologia es la vida, el de la logica es la Inferencia (La inferencia es el proceso por el cual se deriva una conclusión, a partir, de argumentos válidos). 

Cuando una Inferencia es aceptable, lo es por su estructura lógica, y no por el contenido específico del argumento o el lenguaje utilizado.Es por esta razón que se considera a la lógica una ciencia formal, como la matemática, en vez de una ciencia empírica.

Proposiciones

Una proposición es toda oración o enunciado respecto de la cual se puede decir si es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Es decir, toda proposición está asociada a un valor de verdad, la cual puede ser verdadera o bien falsa. Así, si una proposición es verdadera, se dice que su valor de verdad es V y si es falsa, se dice que su valor de verdad es F.

Ejemplo

1. Tome dos aspirinas
2. ¿Habla usted inglés?
3. 2 es un número primo     (V)
4. 3 es mayor que 5            (F)
5. El sol saldrá mañana       (V)

Se trata de 5 oraciones diferentes, una orden, una interrogativa, y tres declarativas. De las dos primeras no podemos decir que sean verdaderas o falsas. Mientras, de las tres últimas que son declarativas, tiene sentido decir que son verdaderas o falsas. A éstas oraciones se denominan proposiciones.

Notaciones y Conectivos Lógicos

A las porosiciones simples o genéricas (llamadas tambiém atómicas) se acostumbran a denotar con las letras minúsculas p.q,r,... 

Así por ejemplo:

p: "21 es divisible por 7"

q: "El hombre es el arquitecto de su propio destino"

r: "La ballena vive en el océano"

A partir de proposiciones simples, se pueden generar otras proposiciones compuestas, utilizando ciertas constantes proposicionales llamadas conectivos logicos:

Operaciones proposicionales

Dada una o dos proposiciones, cuyos valores de verdad se conocen, las operaciones entre proposiciones tranta de generar otras, y caracterizar la proposicion resultante a través de su valor de verdad.

Negación

La negacion de la proposición "p" es la proposición "no p" que se escribe "~p" cuya tabla de valor de verdad es:

 

Conjunción

Se llama conjunción de dos proposiciones, p y q, a la proposición que se obtiene uniendolas por medio del conectivo "y", se escribe p q, y se lee "p y q" cuya tabla de valores de verdad es: 

Regla

La Conjunción de dos proposiciones es verdadera (V) solamente cuando las dos proposiciones componentes son verdaderas, en otro caso es falsa (F).

Disyunción

Se llama Disyuncion de dos proposiciones, p y q, a la proposicion que se obtiene por medio del conectivo "o", se escribe p v q y se lee "p o q" (inclusivo), cuya tabla de valores de verdad es:

Regla:

la disyunción de dos proposicoines es falsa (F) si las dos proposiciones componentes son falsas, en otro caso es verdadera (V)

Implicación o Condicional

Se llama implicacion o condicional de dos proposiciones p y q, a la proposición que se obtiene uniéndolas por medio del conectivo: "si.. Entonces" se escribe p → q y se lee "si p, entonces q" o "p implica q". En el Esquema p → q llamaremos a la primera proposicion (p) antecedente y a la segunda (q) consecuente, cuya tabla de valores de verdad es:

 Regla

la implicacion de dos propsiciones es falsa (F), solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en otro caso es verdadero (V).

Doble Implicación o Bicondicional

se llama doble implicacion o bicondicinal de dos proposiciones. py q a la proposicion que se obtiene uniendolas por medio del conectivo "...si y solo si...", se escribe "p ↔ q" y se lee " p si y solo si q", cuya tabla de valores de verdad es:

Regla

La bicontinunidad de dos proposiciones, es verdadera (V) solamente cuando las dos proposiciones ompenetes tienen el mismo valor de verdad, en otro caso es Falsa (F).

 Disyunción Exclusiva

Se llama disyunción exclusiva de dos proposiciones, p y q, a la proposicion que se obtiene uniéndolas por medio del conectivo "o" excluyente, se escribe p ⊻ q y se lee "p o q" en sentido (p o bien q), cuya tabla de valores de verdad es:

Regla:

La disyuncion exlcusiva de dos proposiciones es falsa (F) cuando las dos proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad, en otro caso es verdaera (V). NOTA: es cierto que p ⊻ q equivale a la negacion de p ↔ q.

Tabla de valores de verdad

El valor de verdad de una fñormula proposicional depende de los valores de verdad de proposiciones imples que la compoene. Es decir, se debe analizar todas las posibles combinaciones de valores de verdad de la proposiciones que la componen, las cuales se dan elas primeras columnas. por tanto si en un formula proposcicional intervienen "n" proposiciones simples diferentes, entonces en la tabla de valores de verdad habra 2 elevado a n. Asíz para dos proposiciones se tiene 2 elevado a la 2 igual a 4 posibles combinaciones de V y F. para tres 2 elevado a 3 igual 8, etc.

Ejemplo

Clasificación de formulas proposcionales

las formulas proposicionales se clasifican segun sus valores de verdad en:

Tautología

Es una fórmula proposicional que es verdadera para cualquier valor de verdad de las proposiciones que la componen:

Contradicción

Es una formula proposicional que es falsa para cualquier valor de verdad de las proposciciones que la componen.

 Contingencia

Es una formula proposicional que no es tautologia ni contradicción

 Leyes Lógicas

Al igual que en el algebra básica donde la simplificación de expresiones algebraicas es muy importante, en lógica también existe la necesidad de simplificar fñormulas proposicionales complejas, a traves de ciertas equivalenecias que a continuación se listan.:

Simplificación

Se trata de transformar una fñormula proposicional en otra equivalente a ella pero lo mas reducida posible. para lo cual se debe usar oportuna y correctamente las leyes lógicas. Así mismo, deben especificarse en cada paso la ley o leyes que fueron utilizados.

Ejemplo

Circuitos en Serie y en Paralelo

Las operaciones proposicionales se pueden representar mediante circuitos lñogicos con tantos interruptores como proposiciones que la componen, combinados en seri o en paralelo según el conectivo lógico que uno las proposiciones.

Circuitos en Serie

La conjunción de dos proposiciones p q, esta representada por un circuito lógico en serie. Esto es:

 

 Circuito en paralelo

La disyunción de dos proposiciones p v q, está representada por un circuito lógico en paralelo. Esto es:

Reglas de Inferencia

Se le llama reglas de inferencia a todo argumento universalmente correcto (o formas correctas de razonamiento) que represenatan metodos generales de razonamiento válido.